Matrix67: My Blog

Happy Pi Day！一起来挑战俄罗斯方块圆周率版

Matrix67 — Sun, 14 Mar 2010 00:01:26 +0800

早上好！今天是 3 月 14 日，一年一度的圆周率日。为了和大家庆祝这个日子，我下载了一个 JavaScript 俄罗斯方块游戏 Js Tetris 的源代码，并且小小地修改了一下。那 7 种四联骨牌已经不复存在了，你将看到圆周率中的数字一个接一个地依次落下。这恐怕有希望成为史上最变态的俄罗斯方块了吧。
游戏改造完毕后，我自己居然沉迷了好久。把积木换成数字后游戏变得不是一般的困难，有很多小技巧有待大家慢慢去摸索。我个人的最好成绩是第 32 位。你呢？

The Most Beautiful Equation (Remix)

Matrix67 — Fri, 12 Mar 2010 00:08:16 +0800

公用品悲剧：污染环境损人损己人尽皆知为何危机依然存在？

Matrix67 — Thu, 11 Mar 2010 18:42:43 +0800

公用品悲剧是微观经济学中又一个非常有趣的话题。从一些简单的假设出发，通过一系列数学推导，我们能够得出一些乍看之下很不可思议的结论。利用这个结论，生活中的很多反常的现象都有了合理的解释。
一个经典的公用品悲剧实例就是过度放牧的问题。同样一块牧场，如果为私人所有，牧场主将会非常合理地规划牧场，让放牧数量达到一个理论上的最优值；但是，如果这是一块公共牧场，则所有人都会争抢牧地，从而导致过度放牧，放牧数量远远大于最优值，最终每个人都得不到什么好处。可能有人会觉得这个现象并不难理解——既然是一块无人管制任人使用的公共牧场，人人都能在这里放牧，过度放牧自然就会不可避免地出现了。但是，仔细一想你会发现这个解释是有问题的：每一个来牧场放牧的人，自己心里也都知道，过度放牧对整个大局是不利的，自己的收益也会随之降低。既然人人都知道过度放牧不好，为什么最后来放牧的人还是越来越多呢？私有牧场和公共牧场的区别到底在哪儿？我们可以借助数学工具来帮助我们分析这个问题。

为了用数字来说明这一情况，我们首先做一些假设。我们假定牧场只放奶牛，收益也全部来自于牛奶供应。显然，牧场的总收益与放牧数量之间的关系是一个单峰函数——牧场上没有牛时总收益为 0 ，牛的数量超过牧场的最大容量后总收益也为 0 ，在这之间一定存在一个平衡点使得总收益达到最大。为此，我们无妨假设总收益 y 与放牛数量 x 满足 y = x(100-x) 的关系，即当牧场上的牛数为 0 或者为 100 时整个牧场都不会有任何收益，而 x = 50 时牧场的总收益将会达到最大。我们再假设，购买一头牛的成本为 c ，拥有奶牛之后放牧的成本则忽略不计。接下来，我们将求出该牧地在公有和私有两种情况下最终达到的放牧数量，大家将会看到开放牧地后确实将导致放牧数量远远超过最佳水平。

如果这是一块私有牧地，牧场主会选择放多少头牛呢？很多人可能会脱口而出，当然是 50 头牛，因为 x=50 时收益达到最大值。但请注意，牧场主想要最大化的并不是他的收入，而是减去成本后所得的利润 x(100-x) - c·x 。对这个式子求导，我们就能得到利润最大化的条件： 100-2x-c = 0 。解出这个式子中的 x ，我们就得出了牧场中的最佳牛数 x = (100-c)/2 。
从另一个角度来看，上述结论也是很显然的： 100-2x 恰好就是 x(100-x) 的导数，是增加第 x 头牛给人带来的收入增加量。如果这个增加量比 c 大，那么买入一头新的牛显然划算；什么时候这个增加量比 c 小了，再买牛来放就要亏本了。因此，临界点 100-2x = c 正好就是牛的数量达到最优的时候。

但是，一旦整个牧场变为公有，上述推理就不对了，因为单个放牧人并不关心整个牧场的利润，只在乎自己的盈亏。为了简便起见，我们假设牧场上有 x 个放牧人，每个人都只放一头牛。那么，牧场的总收入将为 x(100-x) ，每个人得到的收入为 x(100-x)/x = 100-x 。因此，当牧场上有 x-1 头牛时，对这块蛋糕垂涎已久的人会发现，他作为第 x 个放牧人进入牧场后，能够分得的收入为 100-x ，只要这个值比 c 大，这样做就是值得的。随着进入牧场的人数增多，新加入的放牧人会发现他所能赚到的越来越少。最终当 100-x = c 时，便不会再有人想要进入该牧场了。此时的总体情况惨不忍睹——每个放牧人所得的收入都是 c ，可以说是一分钱也赚不到。

    为什么同样都是为了最大化自己的利益，公有牧地和私有牧地的差别那么大呢？根本原因就在于，在公有牧地中，每个人都能自由地进出该牧场，每个人都拥有在牧地放牧的权利。只要一个新来的放牧人发现自己有钱赚，他就会选择买牛放牧，而并不关心这样做其实会导致每个已经在牧场上的放牧人都要少赚一些。但是，选择在这里放牧是这个放牧人的权利，原来的放牧人没有理由驱逐他。随着新人的不断加入，每个人都会赚得越来越少，最后大家的利润都将趋于 0 ，悲剧也就产生了。
    不仅仅是公共牧场，事实上“公用品悲剧”发生在几乎所有的公共资源上。例如，人人都知道污染环境损人损己，最后弄得每个人都活不下去，但为什么大家仍然亡了命似的破坏自然资源呢？原因就在于，对于某一个企业来说，直接排放污水废气给它带来了一个正的收益，但这却给其它的每个企业都造成了损失。每个决定要污染环境的企业都会怎么想，这样做的人便会越来越多，整个社会的损失也就越来越大。
    公用品悲剧还会涉及很多非自然资源的公用品。例如，每个人都知道公交车挤着不舒服，但为什么最终车上还是这么挤呢？这就是因为，对于每个车下面的人来说，只要能上车，他就已经得到了好处，完全无视这一举措会使车上的每个人都受到一点损失。每个车下的人都这样想，悲剧也就发生了。
    公用品悲剧的理论还有很多更奇怪的应用。很多时候，交通堵塞的原因是前方路段发生车祸，但事实上前方发生的仅仅是某辆车撞上了护栏，车祸根本没有挡住道路。为什么最终还是堵车了呢？原来，每辆开到车祸现场的车，都会减慢速度看看热闹，甚至停下来掏出手机照下这一“杰作”。这样做虽然满足了自己的好奇心，却让后面的每一辆车都多堵上好几秒。因此大家往往会发现这样一个有趣的现象：车祸越是离奇，交通堵塞越厉害。另一个经典而有趣的应用是，为什么在餐桌上，实行 AA 制的总消费要比某一个人请客的消费高出许多。原因就在于，在实行 AA 制后，每个点菜的人都会想，原来需要 100 块钱才能吃到的美味，这次只需要 100/n 块钱便能享受到了。这样，虽然自己得到了满足，却让每个人都为你多付出了一些。

最近我写了不少与微观经济学有关的文章，目的仅仅是想告诉大家，数学作为一种工具广泛应用于各种学科之中，能用来解释很多生活中的现象。由于我对微观经济学也是一知半解，因此这一系列的文章就不再深入写下去了。希望这几篇日志能引起大家对经济学的兴趣，并能抽出时间逛逛神奇的经济学世界。

用Mathematica寻找最相似的汉字

Matrix67 — Mon, 08 Mar 2010 22:38:35 +0800

Mathematica 提供了一个看上去毫无用途的无厘头函数 Rasterize ，它可以以图片的格式输出运算结果。比如，下面这个句子可以打印出 (x+1)^n 的展开式的“倒影”：

今天我突然想到，我们可以利用这个函数很方便地分析汉字在图象上的性质。函数 Binarize 可以把图象转换为单色单通道， ImageData 则可以把图象转换成数组的形式，以便我们定量分析。因此，下面这句话就可以把一个汉字转换成 12*12 的 01 矩阵：

下面这几句话可以把 GB2312 中的最常用的 3755 个一级汉字按照宋体 12 像素点阵字的像素点多少进行排序。

可以看到，像素点最少的 10 个汉字为：

像素点最多的 10 个汉字则为：

曾经多次在网上看到诸如“三秒钟之内找到我”、“你吃过康帅博方便面吗”之类的帖子，不由得感叹汉字之强大。于是我开始思考，汉字中哪些字对长得最像？于是，我利用上面这些函数写了一段 Mathematica 程序，跑了几个小时的时间终于得出了在 3755 个一级汉字所对应的宋体 12 像素点阵字中像素不同之处最少的字对。其中有一对字仅一个像素之差，它们是“己”和“已”字。其它的一些结果如下：

   只差 2 个像素：(鸣,呜), (柬,束), (竟,竞)
   只差 3 个像素：(壳,亮), (含,合)
   只差 4 个像素：(上,土), (免,兔), (兵,乒), (士,土)
   只差 5 个像素：(夫,失), (臣,巨), (未,朱), (宜,直)

但是，我对上面这个结果并不满意，因为有这么一个问题被忽略掉了：虽然相差相同数量的像素点，但差异发生在不同的地方，主观上的视觉差别程度是不同的。比方说，同样只差 4 个像素，人们会觉得 (士,土) 之间的差异远远小于 (上,土) 之间的差异。我们可以用一个更简单的例子来说明这种情况：

图 A 和图 B 、图 A 和图 C 都只差一个像素，但从人眼的角度来看，图 C 要和图 A 接近一些。这是为什么呢？或许这就是人和机器的区别吧。机器能够精确地知道每个像素的位置，但人却很难做到这一点，一般只能分辨出每个像素的大致位置。为了模拟人眼的感受，我想到把所有的汉字全部模糊化，让每个像素点都在其周边留下一些影子，这相当于从一个近视眼的角度去量化字形的差异。

对前面的三个例图进行模糊并转化为 256 灰阶后，图 A 和图 B 的各像素灰度值的差值的平方和为 33699 ，图 A 和图 C 的各像素灰度值的差值的平方和则为 29330 ，后者比前者小得多。又是几个小时的时间， Mathematica 终于找出了在这个意义下字形最接近的 50 个字：

   (己,已), (竟,竞), (鸣,呜), (柬,束), (壳,亮), (含,合), (免,兔), (荚,英), (士,土), (宜,直)
   (并,井), (杜,社), (夫,失), (侍,恃), (昔,音), (未,朱), (囤,围), (检,捡), (昧,味), (桶,捅)
   (末,未), (懦,儒), (著,着), (上,土), (兵,乒), (素,索), (臣,巨), (迸,进), (盖,蛊), (槐,愧)
   (优,忧), (官,言), (挡,档), (醇,酵), (柠,拧), (茧,苗), (儿,几), (蓬,篷), (供,洪), (幂,幕)
   (扁,肩), (贵,贪), (金,全), (借,惜), (厘,屋), (析,折), (戍,戌), (大,太), (悄,俏), (失,矢)

这些字究竟相仿到什么程度呢？让我们用上面这个列表中的头 6 组字对做一张“汉字视力表”吧：

经典证明：1+2+3+...+(n-1) = C(n,2)

Matrix67 — Mon, 08 Mar 2010 11:44:34 +0800

来源：MathOverflow
不得不说，确实很妙！

趣题：三角形两顶点在直线上滑动时第三点的轨迹

Matrix67 — Fri, 05 Mar 2010 13:04:21 +0800

如图，两条直线相交于点 O 。 △ABC 的顶点 A 在其中一条直线上，顶点 B 在另一条直线上。如果保持 △ABC 的各边边长不变，让点 A 和点 B 在所在直线上滑动，那么点 C 描绘出来的轨迹是一个什么样的图形？

答案：是一个椭圆。

为了证明这一点，我们过 O 、 A 、 B 三点做一个圆，并把圆心记作 M 。过 M 、 C 两点作一条直线，直线与圆相交于 P 、 Q 两点。注意到由于 PQ 是圆的直径，因此 ∠POQ 始终为直角。在 △ABC 移动的过程中，圆的直径 AB/sin(∠AOB) 将会始终保持不变。既然圆的直径总是相同的，因此我们可以把这个圆重新描述为过 A 、 B 两点的一个指定直径的圆，这样的话整个圆以及 P 、 Q 的位置就唯一地由 △ABC 决定了。这样，弧 AP 和弧 AQ 的位置虽然不断在变，但它的弧度总保持不变，因此其圆周角也不会变化，即 ∠AOP 和 ∠AOQ 总是定值。既然 A 的轨迹是一条直线，那么 P 、 Q 的轨迹也就分别是一条直线。而 ∠POQ 始终是 90° ，因此 P 、 Q 的轨迹实际上是过 O 点的两条垂直线。

以这两条垂直线作为坐标系，我们便可以以一个全新的角度来描述 C 的轨迹了。我们可以把定长线段 PQ 看作是在这个坐标系上滑动，而点 C 的轨迹则是 PQ 上的一定点移动的轨迹。设 C 到 P 的距离为 a ， C 到 Q 的距离为 b ，由于 sin(∠OPQ) 和 sin(∠OQP) 的平方和总为 1 ，因此显然 C 点的坐标 (x,y) 总满足 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 。因此，点 C 的轨迹就是以 OP 、 OQ 为轴的椭圆了。

来源：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/EllipseByVanSchooten.shtml

原创小工具：Idea Generator

Matrix67 — Wed, 03 Mar 2010 12:55:47 +0800

>>> http://www.matrix67.com/ideagen <<<

在小学应用题里面，师徒二人的工作除了做衣服就是加工零件，百货商场里卖的永远是彩电和冰箱，村里的工程队不是修路就是挖水渠。长大了后，我才惊讶地发现，编出一道背景有新颖一些的应用题并不是一件容易事儿。在冰冷的键盘和屏幕前面，能够进入我们脑子里的东西并不多。在我写文章时，我经常需要想出一些贴近实际生活的例子，或是恰当而又有新意的比方；环顾四周，却发现身边的物品并没有带给我什么启发。此时，我竭尽全力去捕捉生活中的各种小事，却发现那些平时司空见惯的琐事很难被思维触及。
于是，我写了一个小程序。每刷新一次，程序便会自动从近千个形容词和上万个名词中随机挑选出一对显示出来。当你在写文章、出题目、做策划时想不到什么好点子了，不妨用这个小工具来帮你打开思路。

推荐视频：纸牌穿玻璃魔术揭密

Matrix67 — Wed, 03 Mar 2010 00:10:02 +0800

玻璃是一个神奇的东西，你能看见玻璃的另一侧，却无法触摸得到。或许就因为这样，穿透玻璃成为了现代人类的梦想，也成为了魔术界的一个不朽主题。为此，魔术师们发明创造了各种办法来展示人们的这种幻想。
我在网上下载了一个 40 多分钟长的视频（英文无字幕），想和大家分享一下。这个视频介绍了很多种实现纸牌穿玻璃的手法，从中可以看到很多魔术师特有的创造性思维。手法和魔术的关系就好像数论和密码学的关系一样，人们通常只看到前者复杂而华丽的外表，而真正令人折服的其实是把前者作为工具，利用想象力和创造力去构造后者那些不可思议的杰作。给你一个小小的遥控汽车，你能用它做到些什么？你可以看到，在一个魔术家眼中，利用一个小小的遥控汽车能够实现哪些看似惊人的魔术效果。

一张无法正确缩放的诡异图片

Matrix67 — Wed, 24 Feb 2010 20:09:55 +0800

给大家看一个好玩儿的东西。在不同的显示器上，下面这张图片的显示效果可能大不相同。如果你用的是 TFT 屏幕，上下移动你的脑袋，调整你的视角，你也会看到不同的色彩。从低处往上看，你会看到一个白色的 MM 站在蓝色背景中；从高处往低看，你会看到一个黑色的 MM 站在黄色背景中。

现在，把上面这幅图片保存下来，用你最爱的图象处理软件打开，然后缩放到原图的 50% 。左图是图片缩小后理应得到的结果，但你会发现，你得到的结果是右边的这个图——一片灰色。

今天从 reddit 上看到了这个网页。根据它的解释，目前的绝大多数图象处理软件，包括 Photoshop 和 GIMP ，它们的图象缩放算法都有问题，错误的根源乃是对 gamma 值的错误假设。左图就是采用正确的图象缩放算法得到的图片，但几乎所有图象处理软件都会得到右边的这张图。该问题也普遍存在于图象查看程序里，甚至就在你用浏览器阅读这篇文章的时候，按几下 Ctrl + 减号后你也会看到同样的错误。另外，由于同样的原因，缩放到其它尺寸、图片的旋转、使用某些滤镜也会出现各种奇怪的问题。具体的原理和更多学术讨论可以在上面那个网页中看到。原文中的图片很不和谐，因此我才根据其原理自己重做了一张。

汉字版Alphametic征集

Matrix67 — Tue, 23 Feb 2010 12:20:22 +0800

Alphametic 是指这样一种有趣的文字游戏。在一个用字母组成的加法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。如果算式成立，那么这个数字谜有唯一解。而 Alphametic 的精髓就在于，整个算式本身也必须“有意义”。最经典的 Alphametic 可能是这个：

SEND + MORE = MONEY

它的唯一解是 9567 + 1085 = 10652 。

就像灯谜、对联一样，作为一种文字游戏， Alphametic 也有很多异常牛 B 的，比如：

EARTH + AIR + FIRE + WATER = NATURE

1969 年，有人发现了这样一个有趣的 Alphametic：

THREE + THREE + TWO + TWO + ONE = ELEVEN

这样的 Alphametic 叫做 Doubly-True Alphametic 。可以证明上面这个 Doubly-True Alphametic 是合法的 Alphametic 中“最小的”一个。一个稍微大一点的 Doubly-True Alphametic 为：

SEVEN + SEVEN + SIX = TWENTY

理论上，汉字也应该有类似的 Alphametic ，可惜目前国内的小学奥赛试题中，各种高难度的虫食算、数字谜屡见不鲜，但这种有趣的 Alphametic 却从未出现。
昨天，为了撰写一份三年级奥数讲义，我有意创作了一个说实话有点别扭的汉字 Alphametic ：

结冰 + 结冰 = 冷冰冰

紧接着我开始思考：汉字有没有 Doubly-True Alphametic 呢？答案是肯定的，并且最小的 Doubly-True Alphametic 一定是：

一 + 一 + 一 + 一 + 一 = 五

这个 Alphametic 的解只能是 1+1+1+1+1=5 ，因为“一”等于 2 的话和将变成两位数。不过，这个解太“平凡”了，有没有一些非平凡的汉字 Doubly-True Alphametic 呢？
于是，我用 Mathematica 写了一个程序，用一夜的时间搜索 Doubly-True Alphametic 。早上爬起来打开电脑一看，屏幕上已经有了一个（可能是最小的）非平凡汉字 Doubly-True Alphametic ：

二十一 + 九十九 = 一百二十

并且令人满意的是，它的唯一解与汉字本身表达的算式相差甚远。

大家还能构造出哪些有趣的 Alphametic ？要是有高人能创作出搞笑一些的，或者具有现实意义一些的汉字 Alphametic 的话那就更爽了，简单的例子如：

墙 + 墙 + 墙 = 翻墙

一些辅助工具可以在这里找到，但貌似……就在墙的另一面。